統計検定2級対策　確率変数の期待値と分散

確率変数の期待値

確率変数はいろいろな値をとります。確率変数がとる値の平均を期待値といいます。
確率変数\(X\)がとる値の平均を期待値 Wxpectation といい、\( E(X) \)と書きます。

離散型

$$ \Large E(X) =\sum_{i} x_{i} f(x_{i}) = \mu $$

連続型

$$ \Large E(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \mu $$

期待値の性質

1. $ \Large E(c) = c $
   定数を足しても期待値は変わらない
   
2. $ \Large E( X + c ) = E(X) + c $
3. $ \Large E(cX) = c E(X) $
4. $ \Large E(X + Y) = E(X) + E(Y) $

確率変数の分散

離散型

$$ \Large V(X) = E \left \{ (X-\mu)^{2} \right \} = \sum_{i} (x_{i} - \mu)^{2} f(x_{i}) = \sigma^{2} $$

連続型

$$ \Large V(X) =E \left \{ (X-\mu)^{2} \right \} = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2} f(x) dx = \sigma^{2} $$

確率変数の分散は式変形をすることで期待値より求めることができます。

分散 = \(X^2\) の期待値 - \({母平均}^2\)

$$ \Large V(X) = E \left ( X^{2} \right ) - \{ E \left( X \right ) \} ^{2} = E \left( X^{2} \right) - \mu^{2} $$

以下は式変形の過程です。

$$ \Large \eqalign{
V(X) &= E \left \{ (X-\mu)^{2} \right \} \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2} f(x) dx \\
& = \int_{-\infty}^{\infty} (x^{2} - 2x\mu + \mu^{2}) f(x) dx \\
& = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)dx - \int_{-\infty}^{\infty} 2x\mu f(x)dx + \int_{-\infty}^{\infty} \mu^{2} f(x) dx \\
& = E \left( X^{2} \right) - 2\mu \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx + \mu^{2} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\\
& = E \left( X^{2} \right) - 2\mu E(X) + \mu^{2} \\
& = E \left( X^{2} \right) - { \{ E(X) \} }^{2} \\
& = E \left( X^{2} \right) - \mu^{2}
} $$

分散の性質

1. $ \Large V(c) = 0 $
   定数の分散は0
   
2. $ \Large V( X + c ) = V(X) $
3. $ \Large V(cX) = c^2 V(X) $