確率変数
「確率変数」とは、確率的に動く変数のことです。
確率変数は\(X\)のように大文字で表します。（大文字は確率変数、小文字は実際とった値です。）
確率変数には離散型と連続型があります。
離散型の確率変数の確率分布
まず、離散型の確率変数の確率分布です。
言葉ではイメージしにくいので具体例を交えて説明します。
例）さいころを振って出る目
さいころを振って出る目は１～６で、それぞれの目が出る確率は\( \frac{1}{6} \)です。
さいころを振って出る目\(X\)は確率変数です。
確率変数の値は数式で次のように表します。
$$ \large P(X=1) = \frac{1}{6} , P(X=2) = \frac{1}{6} , ･･･, P(X=6) = \frac{1}{6} $$
一般に、上の例のように可算集合\( {x_1,x_2, ･･･ } \)の中の値をとる確率変数\(X\)は離散型といわれます。
離散型の場合、確率変数\(x_k\)それぞれの確率
$$ \large P(X=x_k) = f(x_k) \quad (k=1, 2, \cdots) $$
を\(X\)の確率分布といいます。
\(f\)は次の条件を満たします。（すべての確率を足すと1になるという意味です。）
$$ \large f(x_k) \geq 0 , \quad (k=1, 2, \cdots) \quad かつ \quad \sum_{k=1}^{ \infty } f(x_k) =1 $$
この\(f\)を離散型の確率分布といいます。
離散型の確率変数の性質をまとめておきます。
$$ \large P(X=x_{i}) = f(x_{i}) \quad (i=1, 2, \cdots) $$
$$ \large 0 \le f(x_{i}) \le 1 $$
$$ \large \sum_{i=1}^{\infty} f(x_{i}) = 1 $$
連続型の確率変数の確率分布
次に連続型の確率変数の確率分布です。
確率変数\(X\)のとる値が関数\( f(x) \)によって次のように表される場合、\( X \)は連続型の確率分布をもつといいます。
$$ \large P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
\(f\)は次の条件を満たします。（すべての確率を積分すると1になる。）
$$ \large f(x) \geq 0 , \quad (k=1, 2, \cdots) \quad かつ \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$
関数\( f(x) \)を\(X\)の確率密度関数といいます。
グラフで表すと次のようになります。
\(a から b\)の範囲の曲線下の面積が、確率変数\(a\)から\(b\)をとる確率となります。
確率密度関数は"密度"を表したものなので、1点の確率は0となります。つまり、
$$ \large P(X = a) = 0 $$
です。また、ある（小さな）区間では\( P(a \le X \le b) \)が1を超える場合もあります。
統計検定2級の参考図書
