統計学

統計検定2級対策 確率変数と確率分布

確率変数

「確率変数」とは、確率的に動く変数のことです。

確率変数は\(X\)のように大文字で表します。(大文字は確率変数、小文字は実際とった値です。)

確率変数には離散型と連続型があります。

離散型の確率変数の確率分布

まず、離散型の確率変数の確率分布です。

言葉ではイメージしにくいので具体例を交えて説明します。

例)さいころを振って出る目

さいころを振って出る目の確率分布

さいころを振って出る目は1~6で、それぞれの目が出る確率は\( \frac{1}{6} \)です。

さいころを振って出る目\(X\)は確率変数です。
確率変数の値は数式で次のように表します。

$$ \large P(X=1) = \frac{1}{6} , P(X=2) = \frac{1}{6} , ・・・, P(X=6) = \frac{1}{6} $$

一般に、上の例のように可算集合\( {x_1,x_2, ・・・ } \)の中の値をとる確率変数\(X\)は離散型といわれます。
離散型の場合、確率変数\(x_k\)それぞれの確率

$$ \large P(X=x_k) = f(x_k) \quad (k=1, 2, \cdots) $$

を\(X\)の確率分布といいます。

\(f\)は次の条件を満たします。(すべての確率を足すと1になるという意味です。)

$$ \large f(x_k) \geq 0 , \quad (k=1, 2, \cdots) \quad かつ \quad \sum_{k=1}^{ \infty } f(x_k) =1 $$

この\(f\)を離散型の確率分布といいます。

離散型の確率変数の性質をまとめておきます。

$$ \large P(X=x_{i}) = f(x_{i}) \quad (i=1, 2, \cdots) $$

$$ \large 0 \le f(x_{i}) \le 1 $$

$$ \large \sum_{i=1}^{\infty} f(x_{i}) = 1 $$

連続型の確率変数の確率分布

次に連続型の確率変数の確率分布です。

確率変数\(X\)のとる値が関数\( f(x) \)によって次のように表される場合、\( X \)は連続型の確率分布をもつといいます。

$$ \large P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx $$

\(f\)は次の条件を満たします。(すべての確率を積分すると1になる。)

$$ \large f(x) \geq 0 , \quad (k=1, 2, \cdots) \quad かつ \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$

関数\( f(x) \)を\(X\)の確率密度関数といいます。

グラフで表すと次のようになります。
\(a から b\)の範囲の曲線下の面積が、確率変数\(a\)から\(b\)をとる確率となります。

確率密度関数の図

確率密度関数は"密度"を表したものなので、1点の確率は0となります。つまり、

$$ \large P(X = a) = 0 $$

です。また、ある(小さな)区間では\( P(a \le X \le b) \)が1を超える場合もあります

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